!!!三角関数

レンダラでは三角関数はよく使われます。
cos/sinなどの意味合いを元に説明します。

!!sin（サイン）とcos（コサイン）

XY軸の空間で(0, 0)を中心として半径1.0の円を描きます。
このときの円周を通る点を考えます。X軸プラス方向（1, 0）を開始位置と
したときのできる角度をθとしたときの円周上の点の位置を、
「(x, y) = (cosθ, sinθ）」とあらわします。

ちなみに、以下のように角度により位置情報をあらわす座標系を「'''極座標'''」と言います（一般のXY軸（またはXYZ軸）を持つ空間座標を「'''デカルト座標'''」と言います）。
{{ref_image cossin_20040831.png}}

ぐるっと円周を回るわけですので、0度〜90度〜180度〜270度〜360度（= 0度）での
cos/sinは以下の関係になります。

,角度（θ）,X = cosθ,Y = sinθ
,0,1,0
,90,0,1
,180,-1,0
,270,0,-1
,360,1,0

cosθは水平方向の-1.0〜+1.0の範囲を取り、sinθは垂直方向の-1.0〜+1.0の範囲を取ることが分かります。

!!θって何？

では、次はcosθ/sinθにおける「θ」の意味合いです。上記では「度（°）」で
指定しましたが、C言語/数学では「'''ラジアン'''」という単位で指定します。

「360度 = 2π」というのが基礎となる単位と考えてください。
「π」は円周率を表し「3.1415926535...」と延々に続く数値です。
「360度 = 2π」なんで「180度 = π」、「90度 = 0.5π」ですね。

では「N度」では？

 #define PI       3.1415926535
 #define SITA(c)  ((PI * (c)) / 180.0)
 
 double fValS, fValC;
 double n = 45.0;
 
 fValC = cos(SITA(n));
 fValS = sin(SITA(n));

で計算してしまうのが手っ取り早いです。

ラジアンから度数を求めるには上記の逆で、

 n = (rad * 180.0) / PI;

で度数を出すことができますね。

!!sinとcosの逆数

まずは極座標系で考えてください。

 cosθ = X
 sinθ = Y

と(X, Y)が求まっているときにθを求めるには、
アークコサイン（acos）・アークサイン（asin）というのを使います。
これは、それぞれcosとsinの逆数を取っているとも言えます。

まず、使用する前に(X, Y)が作るベクトルの長さが1.0になるように正規化します。
半径1.0の円の中心が(0 ,0)としたときの円周上の点の位置に持ってきます。

 a = sqrt(X * X + Y * Y);
 X /= a;
 Y /= a;

この段階でX, Yともに-1.0〜+1.0の値になっているはずです。
ここでacos/asinの出番です。

 double a_c, a_s;
 a_c = acos(X);
 a_s = asin(Y);

これで「a_c」「a_s」というのが求まりますが、片一方の結果だけでは
角度θは求まりません。
そこで、以下のような処理を加えてやります。

 if(a_s > 0.0) rad = a_c;
 else          rad = PI + PI - a_c;

sinは垂直方向（Y）で-1.0〜+1.0を取る、cosは水平方向（X）で-1.0〜+1.0を取る、
といったことを元に、極座標での角度（ラジアン）0〜2πの間の値になるように
変換しています。

これで「rad」にはラジアンの形で角度が求まります。
最後に、これを度数に変換します。

 n = (rad * 180.0) / PI;

ここで求まったnが0.0〜360.0の角度を持つことになります。

!!2ベクトルの作る角度を求める

それでは上記を踏まえた上で、２つの正規化された（長さが1.0になっている）ベクトルが作る角度を求めてみましょう。

{{ref_image kakudo_20040831.png}}

(px1, py1)と(px2, py2)の２ベクトルがあるとします。ともに正規化済みとします。

ここで角度（cos）を求めるには2ベクトルの内積を求めるといいですので

 cVal = px1 * py1 + px2 * py2;

で、cValに-1.0〜+1.0の数値が求まります。
プラスの値の場合は、2ベクトルの作る角度が0度〜90度の値ということになります。

ここで、実際の度数まで求めていきましょう。

 rad = acos(cVal);

これで角度がラジアンとして求まります。
逆に考えると、

 cVal = cos(rad);

です（acosはcosの逆数を取っているの意味）。最後にラジアンを度数に変換します。

 n = (rad * 180.0) / PI;

これで、nには2ベクトルの作る角度（0.0〜360.0）が求まります。
３次元空間では、cValでの内積を求める計算でZ値を考慮するだけです。

!!cos/sinの負荷

オフラインレンダラなどでは、普通にANSI Cの「math.h」でのcos/sin関数を
使っても速度が気になるということは少ないのですが、リアルタイムでは
そのままでは重いです。
それくらい、ミリ秒単位の世界では三角関数の負荷が大きいとも言えます。

ですので、360度（一周）を256分割くらいして「'''ルックアップテーブル'''」で結果を
引き出す、ということもよく使われます。

 double angle;
 for(i = 0; i < 256; i++) {
     angle = (double)i * PI / 128.0;
     m_cos[i] = (float)cos(angle);
     m_sin[i] = (float)sin(angle);
 }

このとき、N度のcos/sinを求めるには以下のように計算できます（以下は90度でのcosとsinを求める場合）。

 int n = 90;
 int index = (n << 8) / 360; 
 valC = m_cos[index];
 valS = m_sin[index];

実際は除算がネックになるため、「360度で1回転」という考えを「256度で1回転」という概念に置き換えて考えます。

「N / 256」回転する場合（Nは0以上の整数）のcos/sinは

 N &= 0xff;
 valC = m_cos[N];
 valS = m_sin[N];