!!!アフィン変換

元のオブジェクトが持つ頂点情報などは中心位置を(0, 0, 0)としたときの座標系であらわされます。これを「'''ローカル座標'''」と言います。

{{ref_image local_img_20040903.png}}

ここから始まり、
すべてのオブジェクト（物体）は'''シーン'''という3D仮想空間内に配置されます。
この「シーン」を表現する座標系を「'''ワールド座標'''」と言います。
ローカル座標からワールド座標に移行する際に、オブジェクトの拡大縮小・回転・平行移動などが行われます。
ワールド座標にはオブジェクトだけでなく、光源・視点も配置されます。

{{ref_image world_img_20040903.png}}

さらに、今度はこれを「視点（カメラ）位置から見たときの」座標に変換します。視点は情報として、「視点位置」と「視線方向」があります（その他、視野角度などの情報もありますが、これが使用されるのは「パースペクティブ変換」です）。これを元に変換すると、始点位置が(0, 0, 0)で視線方向がZ軸で奥に向かってZがプラスになる座標系に変換されます。これを「'''ビュー（視点）座標'''」と言います。

{{ref_image view_img_20040903.png}}

ここまででは、まだ「3D」の情報です。実際は、2Dのコンピュータのスクリーンに
投影するわけですので「3D→2D」の投影処理を行う必要があります。
この2Dに変換後の座標系を「'''スクリーン座標'''」と言います（なお、この「スクリーン座標」という単語は場合によって呼び名が違うようで「'''パースペクティブ（透視）座標'''」といったりもします）。
また、ワールド座標やビュー座標からパースペクティブ座標に変換する
行為を「パースペクティブ（透視）変換」と言います。結果、スクリーンの中心が(0, 0)となります。また、２次元変換したためにZ値は不要と思われるかもしれませんが、ピクセルの前後関係を把握するために保持することが多いです（この透視座標でのZ値が「Zバッファ法」などで扱われるZ値になります）。

このままでは縦横の縮尺が実際の「スクリーン」とは異なり、また中心が(0, 0)のままのため、実際の描画領域のサイズに合わせます。このときに描画領域の左上が(0, 0)になるように変換されます。この最終的な座標を「'''ディスプレイ座標'''」または「'''デバイス座標'''」といったりします。これは、描画領域の左上を(0,0)としたときのピクセル位置を表します。

この個々の座標系の変換は、「4x4行列」で表現されます。

流れとしては

*ローカル座標
*ワールド座標
*ビュー座標
*パースペクティブ座標
*ディスプレイ座標

の順に、それぞれ「ローカル座標→ワールド座標」変換行列、
「ワールド座標→ビュー座標」変換行列、
「ビュー座標→パースペクティブ座標」変換行列、
「パースペクティブ座標→ディスプレイ座標」変換(ここだけは行列を使用しない)、
の変換が行われます。行列自身は乗算できるため、あらかじめ乗算して座標系の計算負荷を省くこともできます。

このような座標変換のことを総称して「'''アフィン変換'''」と言います。
それでは、個々の変換を見ていくことにします。

まだ途中です。

!!ローカル座標→ワールド座標

ローカル座標からワールド座標への変換ですが、主に「拡大縮小」「回転」「平行移動」が行われます。順番に注意してください。
回転や拡大縮小は中心(0, 0, 0)を基点として行われます。そして、最後にワールド座標での位置に平行移動します。

回転はX/Y/Z軸中心の変換を書きますが、このような回転ではなく
「ある位置からある目標点を見たときの変換」なども回転に値しますので
以下は参考程度も考えてください。

!拡大縮小

X/Y/Z軸方向に拡大縮小します（(Sx, Sy, Sz)で指定）。
1.0のときは等倍になります。

                           [ Sx  0   0  0 ]
 [X' Y' Z' W'] = [X Y Z 1] [  0 Sy   0  0 ]
                           [  0  0  Sz  0 ]
                           [  0  0   0  1 ]

 X' = X * Sx;
 Y' = Y * Sy;
 Z' = Z * Sz;

!X軸中心に回転

X軸を中心にθx回転させます。

                           [ 1      0      0  0 ]
 [X' Y' Z' W'] = [X Y Z 1] [ 0  cosθx  sinθx  0 ]
                           [ 0 -sinθx  cosθx  0 ]
                           [ 0      0      0  1 ]

 X' = X;
 Y' = Y * cosθx - Z * sinθx;
 Z' = Y * sinθx + Z * cosθx;

!Y軸中心に回転

Y軸を中心にθy回転させます。

                           [  cosθy  0 -sinθy  0 ]
 [X' Y' Z' W'] = [X Y Z 1] [      0  1     0   0 ]
                           [  sinθy  0  cosθy  0 ]
                           [      0  0     0   1 ]

 X' =  X * cosθy + Z * sinθy;
 Y' =  Y;
 Z' = -X * sinθy + Z * cosθy;

!Z軸中心に回転

Z軸を中心にθz回転させます。

                            [  cosθz  sinθz  0  0 ]
 [X' Y' Z' W'] =  [X Y Z 1] [ -sinθz  cosθz  0  0 ]
                            [      0      0  1  0 ]
                            [      0      0  0  1 ]

 X' = X * cosθz - Y * sinθz;
 Y' = X * sinθz + Y * cosθz;
 Z' = Z;

!ワールド座標に平行移動

移動後のワールド座標位置を(Px, Py, Pz)とします。

                           [ 1   0   0  0]
 [X' Y' Z' W'] = [X Y Z 1] [ 0   1   0  0]
                           [ 0   0   1  0]
                           [Px  Py  Pz  1]

 X' = X + Px;
 Y' = Y + Py;
 Z' = Z + Pz;

これらの行列を乗算し（行列をかける順番に注意してください）、1つの4x4行列でローカルからワールド座標変換ができるように
します。

!!ワールド座標→ビュー座標

視点から見たときの座標に変換します。
まずこれを求めるには、視点位置があり目標点（視点が見ている位置）があることを
理解してください。

視点位置をV(Vx, Vy, Vz)、目標点位置をH(Hx, Hy, Hz)とします。
このとき視線は、

 Dx = Hx - Vx;
 Dy = Hy - Vy;
 Dz = Hz - Vz;

で求まります。

 cosα = -Dz / sqrt(Dx * Dx + Dz * Dz);
 sinα =  Dx / sqrt(Dx * Dx + Dz * Dz);
 cosΒ = sqrt(Dx * Dx + Dz * Dz) / sqrt(Dx * Dx + Dy * Dy + Dz * Dz);
 sinΒ = -Dy / sqrt(Dx * Dx + Dy * Dy + Dz * Dz);
 
     [cosα  0 -sinα  0] [1     0     0   0]
 A = [   0  1     0   0] [0  cosΒ  sinΒ  0]
     [sinα  0  cosα  0] [0 -sinΒ  cosΒ  0]
     [   0  0     0   1] [0     0     0   1]

このときの行列Aが視点から目標点を見たときの「回転行列」になります（Y軸中心にα回転させてX軸中心にΒ回転させたのに等しい）。

これだけでは「視点の位置が(0, 0, 0)になるようにする」「Z軸は奥に向かってプラス」ができていないので、それも加えると以下の式になります。

     [   1   0   0  0]
 T = [   0   1   0  0]
     [   0   0   1  0]
     [ -Vx -Vy -Vz  1]
 
     [ 1  0  0  0]
 U = [ 0  1  0  0]
     [ 0  0 -1  0]
     [ 0  0  0  1]
 
 [X' Y' Z' W'] = [X Y Z 1] * T * A * U

T、A、Uは4x4行列の乗算になるため、順番にかけ合わせて１つの行列にまとめます。

ただし、この「視点位置」「目標点位置」で求まるビュー座標への変換行列で
求めることができない例外があります。
視点が垂直に上向き・または下向きの場合（Dx = Dz = 0.0の場合）、
cosαとsinα計算時の分母が0になるため計算できません。

!!ビュー座標→パースペクティブ座標

!!パースペクティブ座標→ディスプレイ座標

です。